Límites: definición, tipos e indeterminaciones

Una introducción al concepto de límite en cálculo: definición formal, tipos de límites e indeterminaciones con ejemplos en LaTeX.

Ariel Antinori Análisis Matemático

Definición de límite

El límite es uno de los conceptos fundamentales del cálculo. Informalmente, decimos que el límite de una función \(f(x)\) cuando \(x\) se aproxima a \(a\) es \(L\) si los valores de \(f(x)\) se acercan arbitrariamente a \(L\) conforme \(x\) se acerca a \(a\).

La notación es:

\[\lim_{x \to a} f(x) = L\]

Definición formal (épsilon-delta)

La definición rigurosa, atribuida a Cauchy y Weierstrass, establece:

\[\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \forall\, \varepsilon > 0,\; \exists\, \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon\]

En palabras: para todo margen de error \(\varepsilon\) que elijamos alrededor de \(L\), existe un entorno \(\delta\) alrededor de \(a\) tal que todos los valores de \(f\) en ese entorno caen dentro del margen.

Tipos de límites

Límites laterales

Los límites laterales evalúan el comportamiento de \(f\) al aproximarse a \(a\) desde un solo lado.

Límite por la izquierda (desde valores menores que \(a\)):

\[\lim_{x \to a^-} f(x) = L^-\]

Límite por la derecha (desde valores mayores que \(a\)):

\[\lim_{x \to a^+} f(x) = L^+\]

El límite bilateral existe si y solo si ambos límites laterales coinciden:

\[\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L\]

Límites al infinito

Describen el comportamiento de \(f(x)\) cuando \(x\) crece o decrece sin cota:

\[\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 \qquad \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0\]

Límites infinitos

Ocurren cuando \(f(x)\) crece sin cota al acercarse a \(a\):

\[\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty \qquad \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty\]

En este caso la función no tiene límite en \(x = 0\), pero los límites laterales infinitos describen su comportamiento.

Ejemplo: límite de un polinomio

Para polinomios, el límite se calcula por sustitución directa:

\[\lim_{x \to 3} (x^2 - 2x + 1) = 3^2 - 2(3) + 1 = 4\]

Indeterminaciones

Una indeterminación es una forma que surge al calcular un límite y que no permite determinar el resultado directamente. Las formas indeterminadas más comunes son:

\[\frac{0}{0}, \quad \frac{\infty}{\infty}, \quad 0 \cdot \infty, \quad \infty - \infty, \quad 0^0, \quad 1^\infty, \quad \infty^0\]

Indeterminación \(\tfrac{0}{0}\)

El caso más frecuente. Se resuelve factorizando, racionalizado o aplicando la regla de L'Hôpital.

Ejemplo por factorización:

\[\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4\]

Indeterminación \(\tfrac{\infty}{\infty}\)

Se divide numerador y denominador por la potencia dominante.

Ejemplo:

\[\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + x}{5x^2 - 7} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \tfrac{1}{x}}{5 - \tfrac{7}{x^2}} = \frac{3}{5}\]

Regla de L'Hôpital

Si \(\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0\) (o \(\pm\infty\)), y \(g'(x) \neq 0\) en un entorno de \(a\), entonces:

\[\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\]

Ejemplo:

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \;\overset{\frac{0}{0}}{=}\; \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1\]

Indeterminación \(1^\infty\)

Se transforma usando la identidad \(u^v = e^{v \ln u}\).

Límite fundamental:

\[\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e\]

De forma general:

\[\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k\]

Indeterminación \(0 \cdot \infty\)

Se reescribe como \(\tfrac{0}{1/\infty}\) o \(\tfrac{\infty}{1/0}\) para convertirla en \(\tfrac{0}{0}\) o \(\tfrac{\infty}{\infty}\).

Ejemplo:

\[\lim_{x \to 0^+} x \ln x = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x} \;\overset{\frac{-\infty}{+\infty}}{=}\; \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0\]

Propiedades de los límites

Sean \(\lim_{x \to a} f(x) = L\) y \(\lim_{x \to a} g(x) = M\). Entonces:

\[\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = L \pm M\]
\[\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M\]
\[\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}, \quad M \neq 0\]
\[\lim_{x \to a} [f(x)]^n = L^n\]

Conclusión

Los límites son la base sobre la que se construyen la continuidad, la derivada y la integral. Dominar su cálculo —reconociendo las formas indeterminadas y aplicando las técnicas adecuadas— es el primer paso esencial en el estudio del análisis matemático.

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